鋼琴琴鍵的一個八度音程為何要設計5個黑鍵和8個白鍵？為何倍數頻率的泛音和基音可以完美重疊？
這些都可以從數學角度完美解釋。最初的音樂就是簡單地傳遞情感，然而在發展的過程中，音樂與數學發生了密切聯系。等比數列、三角級數、斐波拉契數列、黃金分割、偏微分方程等數學理論都在音樂中有所滲透。
最早將音樂與數學聯系起來的研究，源自古希臘數學家畢達哥拉斯，他認為數學就像音樂一樣無處不在，區別在于音樂可以直接聽，數學需要經過思考。畢達哥拉斯學派提出了“五度相生律”。相傳畢達哥拉斯經過鐵匠鋪時，發現打鐵節奏很有規律，那些音調和諧的錘子間有一種簡單的數學關系。相反，那些重量之間不存在簡單比例節奏的錘子，一起敲打時會發出噪聲。他還發現了八度音與基本音調之比為1∶2，五度音之比為2∶3。將純五度音程作為生律要素，稱為“五度相生律”。這是人們最早用數學方法研究美的實踐。
文藝復興時期，數學和音樂的融合也加快了步伐，其間代表人物是達·芬奇，他不僅在繪畫上造詣深厚，同時也是音樂家、數學家、建筑師等。達·芬奇研究如何設計新的鍵盤來提高彈奏速度、豐富聲音種類，以及擴展音域。他在對樂器的探索中研究各種聲波的性質以及數學原理，留下了很多相關手稿。達·芬奇和數學家、近代會計之父盧卡·帕喬利一起出版了《神圣比例》，內容正是數學中的黃金率0.618或1.618。
在中國古代歷史上，音樂和數學的關聯也常有記載。最早用數學解釋的聲學定律是“三分損益法”，意思是將管加長或者縮短三分之一，音調聽起來也很和諧。明代著名音樂家和數學家朱載堉潛心研究術數樂律，于萬歷十二年完成了“十二平均律”的計算。17世紀，朱載堉的“十二平均律”被傳教士帶到了西方，被廣泛應用，鋼琴就是根據“十二平均律”的原理發明的。
工業革命前后，大機器的發明和應用使得數學對音樂和藝術的影響更加明顯，其間代表人物是巴赫和貝多芬。巴赫是巴洛克時期的德國作曲家，在他創作的《音樂的奉獻》樂曲中，聽眾感覺在不斷地升調，奇怪的是，升調后最終又回到了原調上。
事實上，這種奇怪的現象與各層面間的遞推和纏繞有關，數學上稱為悖論，集合論基礎的悖論曾引發第三次數學危機。
與巴赫齊名的另一位德國偉大音樂家貝多芬，一生創作了眾多具有強烈藝術感染力的音樂作品。令人難以置信的是，他的很多作品都是在失聰狀態下創作的，這一定緣于貝多芬深諳音符背后隱藏的規律，其中包括數學規律。
（作者系華中農業大學信息學院大學數學教學學術團隊骨干教師）
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