余生趣潭
中國漢代古算書《九章算術》方程章中的“方程”與現在的方程含義不同，它不是指含有未知數的等式，而是指根據一定規則由數字排列而成的呈方形的程式。
以《九章算術》方程章第一題為例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何。”
如用現在設未知數列方程的方法，列出的線性（一次）方程組為：
3x+2y+z=39
2x+3y+z=34
x+2y+3z=26
中國古代沒有設未知數的習慣，而是直接用算籌將數目列在籌算板或者桌面上。這種算式是按某種比率關系建立起來的數字陣，似乎是分離系數法的體現。
解這個“方程”用的是“直除法”。所謂直除法，就是整行與整行對減。此處方程的建立及消元變換采用位值制，每個數字不必標出它是什么物品的系數，而是用所在的位置表示。《九章算術》方程的表示，相當于列出其增廣矩陣，消元過程相當于矩陣變換。
用直除法必然會出現零減去正數的情況。為使運算繼續下去，就必須引進負數概念。
《九章算術》所載的“正負術”，就是為解決這一問題而提出的。這是世界數學史上最卓越的成就之一：“正負術曰：同名相除（減），異名相益（加）；正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益；正無入正之，負無入負之?！边@也是在世界上第一次講到了正負數的加減法。
籌算怎樣來表示正負數呢？
《晉書》《隋書》“律歷志”中有這樣的記載：“魏陳留王景元四年（公元263年）劉徽注《九章算術》?！眲⒒盏摹毒耪滤阈g注》給后人留下了寶貴的數學遺產。劉徽稱：“今兩算得失相反，要令正負以名之。正算赤，負算黑，否則以邪正為異。”意思是說，同時進行兩個運算，若結果得失相反，那就要分別叫作正數和負數，并用紅籌代表正數，黑籌代表負數。不然的話，就將算籌斜放和正放來區別。這是世界數學史上第一次突破了正數的范圍，也是對負數第一次做出合理解釋。
除中國外，世界上對負數概念的建立和使用都經歷了一個曲折的過程。
希臘數學注重幾何，而忽視代數，幾乎沒有建立過負數的概念。印度婆羅摩笈多開始認識負數，采用小點或小圈記在數字上面表示負數。對負數的解釋是負債或損失，只是停留在對相反數的表示上，尚未將負數參與運算。
歐洲第一個給出負數正確解釋的是斐波那契，他在解決一個關于某人的盈利問題時說：“我將證明這問題不可能有解，除非承認這個人可以負債?！?/p>
1484年，法國的舒開給出二次方程一個負根。意大利的卡當在1545年區分了正負數，把正數叫作“真數”，負數叫作“假數”，并正式承認了負根，不過，這些思想都沒有在歐洲引起足夠重視。直到18世紀，有些數學家還認為負數這個比零小的數是不可能的。
負數在西方發展得如此緩慢，而中國卻對負數有深刻的認識，這不能不說是中國數學思想的先進。
最后，需要補充一點的是，劉徽還用齊同原理證明了直除法的正確性，而且還創造了互乘相消法，與現今解線性方程組的方法完全一致。
劉徽是中國古代最早的著名數學家。他對《九章算術》齊同術、今有術、割補術的整理闡發，對割圓術、劉祖原理、十進分數的新的數學創造，對《九章算術注》中補第十卷“重差”后，被唐代李淳風在“算經十書”單篇刊出為《海島算經》，都是中國傳統數學的累累碩果。
中國數學大師吳文俊院士對劉徽《海島算經》重差術有專門的研究著述，對《九章算術》法譯本十分贊賞。
（作者系國家教育咨詢委員會委員、中國科技館原館長）
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