在一個小鎮中，有一條關于刮胡子的法令——鎮上的男士必須每天都刮胡子。但法令并沒有要求必須自己刮胡子，那些不想自己刮胡子的人，可以去找理發師。但法令還規定：不給自己刮胡子的人，就由理發師為他刮胡子。
小鎮上只有一名理發師，他也是位男士。現在請你想一想，這位理發師能給自己刮胡子嗎？根據規定，作為理發師，他只能給“不給自己刮胡子的人”刮胡子。那么，如果他不給自己刮胡子，他就可以給自己刮胡子。而如果他給自己刮胡子，他又不能給自己刮胡子。理發師就此陷入兩難之中，這就是著名的理發師悖論。
理發師悖論其實是羅素悖論的通俗版本。伯特蘭·羅素是英國著名的哲學家、數學家、邏輯學家，他年輕時曾立志為數學尋找牢靠的地基，在此過程中，他發現了羅素悖論。
要理解羅素悖論，還得從集合說起。數學家們最初對集合的界定比較隨意，一堆東西放在一起就可以稱為一個集合。集合中的每個個體又叫集合的元素，一個集合中的元素都屬于這個集合。一群松鼠可以組成一個集合，所有的自然數可以組成集合，所有唐朝詩人加上所有的自然數也可以組成一個集合。基于這種簡單樸素的集合界定，羅素構造出了這樣一個集合S：S由一切不是自身元素的元素所組成。
那么，問題來了：S是否屬于S呢？
如果S屬于S，根據S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據定義，S就屬于S。所以，無論回答是或否都會產生矛盾。
羅素悖論看起來像個普通的智力游戲題，實則非常深刻。由于當時的大部分數學都是建立在這樣樸素的集合概念基礎上，而羅素所發現的正是這種樸素的集合定義的大漏洞，所以它動搖的是數學理論的基礎。
對于羅素悖論的嚴重后果，德國數學家、邏輯學家和哲學家弗雷格有著既難過又清醒的認識，他在《算數基礎規律》第二卷的跋（bá）中寫道：“對一名追求嚴謹系統的作者而言，沒有什么比在工作完成之后發現整個大廈的地基被動搖更不幸的了。而恰逢這一卷的印刷即將完成之時，伯特蘭·羅素先生的一封信正把我置于這樣的境地。”
不僅弗雷格，當時正在致力于給數學尋找一個堅固基礎的羅素自己也深受這個悖論的折磨。弗雷格用跋中的另一段話揭示了當時的數學家和邏輯學家所處的窘境：“在證明中使用了概念的外延、類、集合的每一個人，都與我處于同樣的地位。成為問題的不僅是我建立算術的特殊方式，而是算術是否完全有可能被給予一個邏輯基礎。”
不過，羅素悖論也有積極意義。在羅素悖論提出之后，有關集合的理論升級換代，從素樸集合論升級到了更嚴謹、更基礎的公理集合論。而羅素本人，除了給出類型論來應對自己發現的羅素悖論，還和英國數學家懷特海合作寫出了被后世譽為“20世紀邏輯圣經”的《數學原理》。
（作者系中國科學院哲學研究所教授）
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