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    隨著學科的發展,代數拓撲已經是一個龐大的學科,并與數學各學科領域實現交融貫通;簡單的形象描述并不能完全刻畫拓撲的前沿發展。

    代數拓撲具有幾何、組合、范疇三種屬性集于一體的奇妙特征;其內涵主要由同倫論與同調論組成,其中同倫論是代數拓撲的內核。

    代數拓撲的幾何屬性使得拓撲與幾何成為相對論與量子物理的數學基石,并在相關的技術領域取得應用,如量子計算、材料。代數拓撲的組合屬性使得它成為理論計算機科學的數學基石;在大數據技術、人工智能等領域已經取得眾多成功的應用;以持續同調為主要工具的拓撲數據分析,自其2009年作為研究領域誕生以來,迅猛發展,現在已經成為歐美的熱門領域,其應用遍及與大數據相關的各個科技領域。

    冷戰時期,不少拓撲與理論物理項目受到美國軍方基金支持。在技術競爭趨于激烈的時代,西方往往率先重金支持拓撲的應用,爭取爭奪技術制高點。例如,在英國,拓撲在數據科學應用的三個項目,每個項目均是500萬英鎊,單項支持就超過中國整個拓撲學科項目支持的總和。

    代數拓撲的范疇屬性使得它又具備與其他數學學科領域知識融通的能力。簡單地說,代數拓撲追求基礎理論創新,應用拓撲追求基礎理論的技術落地;二者相輔相成。

    先從人們比較熟悉的網絡說起。這里的網絡在數學上叫圖,即有些頂點,以及有關聯的兩個頂點之間用一條或多條邊連接起來。過去幾十年以來,人們通過網絡的刻畫成功地解決了大量的重大科技問題;但有很多來自化學、生物、生態、社會等系統,會出現3個或更多頂點群體互動形成的關聯性,例如,生命體的基因表達往往多個基因共同表達,工業互聯網走向智能化會出現3個或多個的群體互動,人們已經開始移向“超越兩兩互動的網絡”的研究,而且這個趨勢將是未來的走向。

    在數學層面,三個頂點形成互動,我們可以想象出現了一個三角形的2-維結構;四個頂點互動,我們可以想象出現了一個四面體的3-維結構,如此下去,會呈現出一個具有高維結構的幾何體;這正是代數拓撲中的抽象單純復形的思想。在大數據的情況下,這種幾何體的結構會變得極為復雜。

    人工智能向前發展,人們對事務的認知在深入、數學方法在升級,拓撲視角下的網絡已經從低維往高維結構推進;缺乏拓撲支撐下的應用,基石不扎實、上游技術研發能力不足、續航能力不夠。

    任何技術源自于基礎理論,只有基礎理論與技術應用相互推力、形成科技發展的馬達,人工智能的發展才會產生驅動力,基礎理論創新的“雨點”才會落在廣袤的土地上。

    目前,我們在“代數拓撲及其在前沿科技的應用”項目中已經取得了不錯的進展。我們按照“基礎理論與技術應用雙向互動”的思路來推動項目,一方面是推動基礎理論的創新(如我們引入了具有應用前景的加權持續同調、持續超圖同調等),另一方面通過數據測試來驗證我們引入的新的理論方法。以技術應用為導向下,我們在強化代數拓撲基礎研究的同時,向技術應用方向擴張與延伸,從這個層面看,我們已經取得了成績。

    從另外一個角度,現代的科技已經進入“兵團作戰”模式,協同能力、學科交叉能力、理論創新與技術落地的合拍能力等的科技戰略結構甚至更加本質。從基礎理論到技術應用,是一條漫長的路,每一環節都極為關鍵,只有強強聯手,才有可能讓好的基礎理論落地四處生根。