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不知你是否認真想過下面這個問題：什么是 √2？

你可能會說，如果沒有√2，地球不照樣轉，我們的日子不也照樣過嗎？其實不然，至少在遙遠的古希臘，有一群人的日子會過不好。

那是公元前 500 年前后，在愛琴海周邊有一群有閑的智者，他們不事生產(chǎn)，終日思考宇宙的本質、生命的意義等各種大問題，畢達哥拉斯（Pythagoras）就是其中一員。

畢達哥拉斯（Pythagoras）

他及其門徒們認為“萬物皆數(shù)”，即世間萬物的和諧都能用數(shù)字來解釋與描述。比如，當琴弦長度成簡單整數(shù)比的時候，發(fā)出的和音最悅耳。

要注意，畢達哥拉斯他們所談論的“數(shù)”，是如今所謂的自然數(shù)，即 1, 2, 3 這種我們打小會數(shù)的數(shù)。世間萬物無外乎這些數(shù)以及它們的比例耳！這是一種信仰，支撐著畢達哥拉斯學派不斷探索著自然。直到有一天，他們中的一員發(fā)現(xiàn)了一件不得了的事情。

這個發(fā)現(xiàn)來源于畢達哥拉斯學派另一個聞名于世的偉大成就，那就是西方所稱的畢達哥拉斯定理（Pythagoras Theorem） ——也即我們的勾股定理：

若一個直角三角形的兩直角邊長度為 a 和 b，斜邊長度為 c，那么：

如果我們畫一個邊長為 a = b = 1 的等腰直角三角形，按照上述公式一算，立馬能得到

斜邊長度的平方等于 2，這又咋了？

如果我是畢達哥拉斯，至此也不會怎樣，估計會自言自語道：那就讓我們來找到一個分數(shù)，其平方等于 2 唄！你可以試著找一找，或者相信我，很遺憾，這樣的分數(shù)不存在。

斷言：不存在一個分數(shù)，其平方等于2。（為了區(qū)別正式定義的數(shù)學中的“命題”與“定理”，我們稱在直觀理解下的一個或正確或錯誤的陳述為斷言。）

正是這個斷言，直接摧毀了畢達哥拉斯學派的整個信仰基礎。

據(jù)說，發(fā)現(xiàn)這件事的學生被推入大海，其他門徒也必須發(fā)誓保守秘密。但只要是真理，就有被發(fā)現(xiàn)的一天，它是藏不住的。時至今日，√2 于我們已經(jīng)是一個再平凡不過的記號了。

那話說回來，憑什么上文的斷言就是真理呢？它為什么是真的呢？如果要論證一個怎樣的分數(shù)存在，很簡單，找出來就行了。但是要怎么論證不存在呢？找了很久都找不到并不說明問題，我們得用邏輯推理來證明！

上文斷言的證明：

假設存在一個分數(shù) m/n，其平方等于 2，其中 m，n都是自然數(shù)。顯然，可以不妨設它們不全都是偶數(shù)，否則可約去公因子 2。我們有

注意到右邊是一個偶數(shù)，于是 m 的平方是一個偶數(shù)，那么 m 必然也是一個偶數(shù)，設 m = 2k。于是

同理，這又表明 n 是一個偶數(shù)。于是，m 和 n 都是偶數(shù)，與它們不都為偶數(shù)

矛盾，故假設錯誤，不存在這樣的分數(shù)。

這是一段流傳千古的證明，精彩，漂亮。要知道為什么這個證明震撼并摧毀了畢達哥拉斯學派，我們繼續(xù)探究：

說這個方程無解沒有人會反對，但邊長為一米的正方形可是實實在在看得見摸得著地存在的，它的對角線長度就是一個平方等于二的量！可我們證明了它不可能是分數(shù)，說好的萬物皆數(shù)呢？！

洞察：我們周遭物理世界的幾何性質逼迫我們不得不承認存在一個量其平方等于二。

現(xiàn)代數(shù)學告訴我們存在著無窮無盡種幾何（geometry），有些于其中成立畢達哥拉斯定理，有些不成立。

前者被稱為平坦的（flat），后者被稱為彎曲的（curved）。現(xiàn)代宇宙學一個很大的課題便是回答我們的宇宙到底是平坦的還是彎曲的。誠然我們在地球上的測量顯示直角三角形兩邊平方和的確等于斜邊的平方，但那未必不是由于測量誤差導致的，換上精度更高的尺子可能會發(fā)現(xiàn)實際上二者并不相等，這樣一來畢達哥拉斯信仰的分數(shù)說不定就夠用了！

但無論如何，在平坦的幾何中，分數(shù)肯定是不夠的，√2 是存在的。據(jù)筆者所知，如今的各種實驗基本都表明我們的宇宙是平坦的。

說了這么多，無非就想說明一件事——√2 的確存在。

讓我們回到正題，既然它不是分數(shù)，那它到底是個什么東西呢？如果你回答 √2 就是 1.414 · · ·，那我就要繼續(xù)問了，那它是 1.4142 · · · 嗎？是 1.4142135624 · · · 嗎？這個省略號“· · · ”是什么意思？如果你回答 √2 是一個平方等于 2 的數(shù)，那什么是“數(shù)”呢？什么又是一個數(shù)的平方呢？

在這里埋下一個伏筆，且聽下回分解......

轉載自：原點閱讀

來源：《無解的方程：從丟番圖到伽羅瓦》

作者：韓旭

責編：咕嚕