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破譯密碼在戰爭中起到關鍵作用。瑞典數學家阿恩·伯爾林（Arne Beurling）因1940年破譯了德國密碼機“G打印機”而名垂青史。事實上，他是一位不世出的天才，雖然在數學上做出了菲爾茲獎級的成果，但他的生平和在密碼分析領域的成就并不為人所知，直到20多年前才被披露。他自己從未透露過破解密碼的方法，正如他自己所說：“魔術師從不揭示自己的秘訣?！?/p>

撰文 | 范明

1941 年 6 月中旬，一個令人不安的消息傳到瑞典。納粹德國在波羅的海南部地區大幅削減軍隊，而在波羅的海海域的海軍活動卻強有力增加，顯然一場重大的軍事行動正在醞釀中。丹麥和挪威被納粹占領已經一年多了，現在輪到瑞典了嗎？盡管如此，瑞典政府及國防部高層并未采取任何超出現有準備的措施——既沒有總動員，也沒有調動軍隊。為什么會出現這種無所作為的情況？行動癱瘓，還是不負責任？這些猜想都是錯誤的，其實早在幾個星期前，政府就已獲知，德軍的異常軍事行動并非針對瑞典，而是針對蘇聯的 “巴巴羅薩行動”（Operation Barbarossa）。為了減少本國人民不必要的擔心，政府決定不動聲色，這樣既可以節省大量資源，也不必打草驚蛇激怒希特勒。

揭露德國計劃的幕后英雄是一位瑞典數學家——阿恩·伯爾林（Arne Beurling，1905-1986），他于1940年破譯了德國“G打印機”（Geheimschreiber）的戰略軍事通信密碼。這是密碼學歷史上最偉大的成就之一，可與波蘭人馬里安·雷耶夫斯基（Marian Rejewski）和英國人阿蘭·圖靈（Alan Turing）等破解德軍恩尼格瑪（Enigma，Enigma一詞在希臘語中是 “謎語”的意思）密碼機的壯舉相提并論。然而在戰后很長一段時間里，伯爾林的名字和事跡卻鮮為人知。直到1996年，瑞典密碼分析師和作家本特·貝克曼（Bengt Beckman）撰寫的《瑞典的密碼破譯者》一書問世，才將這位出世高人的生平展現在世人面前。這是一個擁有幾乎所有驚悚元素的真實故事：殘酷的戰爭年代、孤獨的數學天才、神秘的解碼 “魔術師”……

阿恩·伯爾林 圖源：popularhistoria.se

加密技術和密碼機行業的開端

密碼學是一門古老的科學，人類使用代碼和密碼傳遞秘密信息的歷史幾乎與使用文字的時間一樣長。從公元前幾百年起，就先后出現了希伯來學者使用的單表替換式密碼、斯巴達人用于換位加密的 “塞塔式密碼棒”、希臘化時代的“波利比烏斯方表” 打拍密碼、羅馬共和時期替換加密技術的“凱撒密碼”等。1467年左右，被稱為“西方密碼學之父”的意大利文藝復興時期的通才萊昂·巴蒂斯塔·阿爾伯蒂（Leon Battista Alberti）提出了多表加密方法，后來發展成為由一系列凱撒密碼組成的多表加密系統——“維吉尼亞密碼”，并最終催生了理論上具有完善保密性的“一次性密碼本”。這類經典密碼主要使用筆和紙，或者簡單的機械輔助工具進行加密。

瑞典是一個發明家輩出的國家，世界上第一臺密碼機可能與18世紀瑞典貴族弗雷德里克·格里彭斯蒂納（Fredrik Gripenstierna）男爵有關，1786年9月23日，他在寫給瑞典國王古斯塔夫三世的信中提出了一臺密碼機的設計方案。格里彭斯蒂納在信中寫道，自己是根據年輕時從外祖父——瑞典著名科學家和發明家克里斯托弗·普爾海姆（Christopher Polhem）那里學到的知識，繪制了這臺機器的圖紙。普爾海姆與英國數學家和密碼學家約翰·沃利斯（John Wallis）有書信往來，沃利斯是牛頓的老師，提出了無窮大符號∞。普爾海姆關于密碼機的構思則來自德國耶穌會成員和通才阿塔納修斯·基歇爾（Athanasius Kircher）的著作《數字算盤》中的思想。古斯塔夫三世對這一設想很感興趣，同年瑞典的一家公司制造了原型機。

雖然格里彭斯蒂納密碼機的圖紙和機器已經失傳，但從他給古斯塔夫三世信件的描述中可以大致猜測出其外觀。這是一個由57個旋轉金屬圓盤組成的圓柱形機器，圓盤彼此相鄰排列并可繞軸旋轉。每個圓盤的一半按順序標記有字母和特殊字符，另一半則是以亂序方式排列的 0 至 99 之間的數字，使用者可以通過字母、字符與數字交換位置以及旋轉圓盤來加密和解密文本消息，這臺密碼機共有約 41076 個可能的字母表。美國開國元勛之一托馬斯·杰斐遜（Thomas Jefferson）曾于1795 年發明了一種有36個圓盤的類似裝置——“杰斐遜圓盤”，但沒有付諸使用，直到1922年，美國人根據其原理制造出M-94密碼機。

20世紀早期，隨著一些電動機械的發明，更復雜和有效的加密方法問世，一批密碼天才閃亮登場。例如，瑞典數學家阿維德·達姆（Arvid Damm）也是一位工程師和發明家，于1896年獲得烏普薩拉大學博士學位。1916年7月，他與同樣對密碼學感興趣的海軍軍官奧洛夫·吉爾登（Olof Gyldén）共同創辦了一家瑞典有限公司AB Cryptograph，它可能是世界上第一家完全專注于加密機并獲得商業成功的公司。達姆是用于機器加密的有線轉子原理的早期發明者之一，他申請了瑞典專利，設計了多款密碼機，包括可以自動加密輸入文本的B1原型機。1922年，諾貝爾家族和哈格林家族為瀕于破產的AB Cryptograph注資。3年后，鮑里斯·哈格林（Boris Hagelin）代表其家族接手了公司的管理權并重組改名，并生產出B1型密碼機的簡化但實用的版本B21，出售給瑞典軍方。

哈格林的主要競爭對手是德國電氣工程師亞瑟·謝爾比烏斯（Arthur Scherbius），后者發明的恩尼格瑪密碼機于1925年開始批量生產。哈格林的產品曾與恩尼格瑪機的早期版本展開競爭，但銷量更好。他開發的最著名的產品是 C36 型密碼機，二戰期間他曾向美國軍方售出數萬臺小型版的機器。后來哈格林移居瑞士，1952年在伯爾尼創立Crypto AG公司，于1958年關閉了瑞典公司。二戰后Crypto AG迅速成為密碼機行業的領軍企業，還于1970年代復制了兩臺格里彭斯蒂納密碼機，哈格林也是史上唯一一位成為億萬富翁的密碼機制造商。隨著世界通信的數字化，公司于2018年被分拆出售。

三轉子恩尼格瑪機（左）和C36 型密碼機（右） | 圖源：維基百科

信號攔截與密碼分析

密碼分析是研究在不知道秘密信息的情況下對已加密的信息進行解密的一門學問，英文單詞為cryptanalysis，源自希臘語kryptós——意為“隱藏”，以及analyein——意為“解開”。盡管這一詞匯直到1920年才出現，但破解密碼和密碼機的方法卻由來已久。密碼分析與密碼學共同演化，被視為同一枚硬幣的正反兩面：為了創建安全的密碼，就必須考慮到可能的密碼分析。成功的密碼分析對歷史進程產生了重要影響，在戰時尤其如此。一戰期間的1917年1月，英國情報部門截獲并破譯了德國外交部 “齊默爾曼電報”（Zimmermann Telegram），成為促使美國參戰的直接原因。二戰中對德國恩尼格瑪機的成功破解，使得盟軍在歐洲戰場提前獲勝，對整個戰爭起到決定性作用。

早在20世紀初，瑞典軍方就擁有自己的信號情報和加密部門，一戰期間成功破解了俄羅斯波羅的海艦隊的一些加密信息。瑞典曾與德國簽訂合作協議，分享這些情報，并允許德國外交部在瑞典軍艦上向海外大使館發送電報。作為回報，德方授予瑞典使用加密部門的方法和結果，并為其培訓加密專業人員。齊默爾曼電報就是通過這種方式發送給德國駐墨西哥大使，其中披露了無限制潛艇戰爭的計劃，建議墨西哥與德國結成抗美軍事聯盟，這封電報被英方截獲并轉告美方。1930年代，瑞典海軍加強了在波羅的海沿岸的海軍基地和艦艇上攔截俄、德、英等國無線電信號的工作，并開始培訓自己的密碼學和密碼分析人才。

伊夫·吉爾登（Yves Gyldén，1895–1963）是1930年代瑞典密碼學和密碼分析領域的先驅者和最重要的專家，他的父親奧洛夫·吉爾登是阿維德·達姆的商業合伙人、祖父是著名天文學家雨果·吉爾登（Hugo Gyldén）。吉爾登兼具語言和數學天賦，精通瑞典語、法語、西班牙語，他認為密碼分析是一門藝術。1931年，吉爾登出版了《密碼機構在世界大戰中的貢獻》一書，介紹從1880年代至一戰期間所有歐洲國家的編碼和破譯操作，并預言了密碼分析在今后戰爭中的作用。吉爾登還是一位出色的教師，他曾在多所軍事學校講授密碼學和密碼分析課程。同一時期哈格林開發的許多加密機器都是基于密碼分析領域的最新進展，包括吉爾登的工作。

由于密碼算法日漸復雜，密碼分析逐漸變得主要依賴于數學方法。1924年，19歲的阿恩·伯爾林進入烏普薩拉大學數學系學習，他在1930–1931年服兵役期間開始對加密技術和破譯密碼感興趣。伯爾林在一堂周末課程中參觀了瑞典國防部門的B21型密碼機，在檢查了這臺機器后，他聲稱機器存在安全缺陷。第二天他就拿出了解決方案，使得課程教官大為驚訝。服役期結束后，伯爾林回到烏普薩拉大學繼續學業，獲得博士學位，后成為教授。1937年7月1日，瑞典武裝部隊總參謀部（F?rsvarsstaben）正式成立，下設包括密碼部在內的十個部門，開始培訓密碼分析人員。吉爾登擔任密碼分析、統計應用等課程的教官，伯爾林也兼職參與組織一門密碼學課程。

總參謀部密碼部門舊址 | 圖源：popularhistoria.se（左）及作者拍攝（右）

斯堪的納維亞的地緣政治位置、不可預測事件中的政治博弈以及戰爭后期的軍事集結，使得瑞典政府在整個二戰期間始終保持中立。1942年7月1日，瑞典武裝部隊總參謀部中負責信號情報和加密工作的部門被劃分為一個獨立機構——“武裝部隊無線電局”（F?rsvarsv?sendets Radioanstalt），簡稱FRA。戰爭期間，總參謀部密碼部門設在斯德哥爾摩市中心Karlaplan 4的一棟舊樓內，現在這座樓房已拆除重建，2022年10月，FRA在舊址門口安放了紀念牌匾，上面的銘文是：“信號情報服務部門于1939-1943年間在這座樓房內運行，瑞典武裝部隊無線電局向曾在這里默默工作的男女軍人致敬，他們為國家做出了巨大貢獻?！?/p>

破譯德國G密碼打印機

二戰爆發后伯爾林應征入伍，進入情報加密部門工作。他的小組最初被指派研究蘇聯的信息傳輸系統，成功破譯了波羅的海艦隊的 10400 封電報——蘇聯人使用了四位數和附加超級加密的五位數密碼。在和平時期瑞典國防部從未對重要的外國國防部門的組織和運作有如此深入的了解。1940年夏天，伯爾林取得了一生中最杰出的成就：破解德國人 的G密碼打印機，那時G打印機用于德國駐斯德哥爾摩大使館和挪威之間的電傳通訊。1940年4月，德國占領丹麥和挪威后不久，要求向瑞典租賃奧斯陸和哥本哈根之間沿西海岸的電纜。盡管這一舉動有悖于瑞典作為中立國的立場，卻為破解德國密碼提供了難得的機會。

德國西門子公司的Halske T52型G打印機是一種內置加密的電傳打字機，體型較大，主要供納粹高級軍事人員和外交使團使用。與G打印機相比，恩尼格瑪機的體積小得多，廣泛用于德國軍隊和潛艇。恩尼格瑪機沒有任何打印文字，必須由兩人使用，破譯密碼則需要訪問物理機器，而且需要大量計算資源。英國人就是在破譯密碼遇到困難的關鍵階段，從三艘德國潛艇上獲取了密碼機來破譯的，而當年瑞典國防部門沒有這些條件。破解G打印機意味著瑞典政府和國防部高層可以在德國進攻威脅最危急的關頭了解掌控戰爭局勢的最高級別人員的情報，例如本文開始提到的德國入侵蘇聯的“巴巴羅薩行動”，從而為使瑞典遠離戰爭提供了重要支持。

瑞典軍事博物館收藏的一臺G打印機 | 圖源：作者拍攝

G打印機采用了當時最先進的加密方法，其中包括使用十個不同尺寸的碼輪，碼輪和繼電器可以通過多種方式連接，將輸入的五位電傳打字機字符轉換為其他加密字符。這些字符由接收器使用按照相同約定設置的機器進行解密，總共可設置 893 622 318 929 520 960 種不同組合。根據瑞典情報部門截獲的密碼電報以及德國大使館臥底特工送出的明文，伯爾林選取了1940年5月25日24小時內發送者和接收者相匹配的信息流量，將其逐字打印出來。經過兩周時間的思考和計算，他僅僅使用筆和紙就完成了破解工作。在這之前伯爾林對于電傳打字機及其加密方法一無所知，而德國人認為G打印機是不可破解的，因此戰后他的成功引起了公眾的廣泛關注。

伯爾林從不將簡單問題復雜化，他在工作中并沒有使用高深的數學知識和神秘公式，不過是充分利用了G打印機的設計和操作的一些弱點以及德國操作員處理信息的方式，例如多次發送具有相同設置的消息。根據G打印機產生的密碼，伯爾林還設計出了該設備的數學模型。在工程師維果·林斯坦（Vigo Lindstein） 的幫助下，他們制造出一臺與G打印機的工作方式正好相反的機器，并將其命名為 “App”。德國的加密信息送到這臺機器上能直接被轉換為純文本并打印出來，使解密過程自動化，從而節省了解密人員手譯電報的大量時間。德國的最高軍事機密就這樣源源不斷地實時送到瑞典安全部門高層的辦公桌上，直到1943年底，德方發現之后才用新系統和加密技術堵住了漏洞。

用于破解G打印機代碼的部分原始文檔 | 圖源：fra.se

伯爾林生前對于其解密方法始終守口如瓶，他的一句名言是：“魔術師從不揭示自己的秘訣?！辈疇柫衷跒跗账_拉的前學生卡爾-約斯塔·伯勒留斯（Carl-G?sta Borelius）長期擔任 FRA 密碼分析師和數據中心主管，他在1941–1943年間參與了G打印機的解密工作。一個重要線索是G打印機在使用過程中，操作員通常會在每個空格處插入阿爾法換檔，以避免陷入數字模式，這意味著alpha shift + space是一個常見的組合。1980年代，伯勒留斯撰寫了一份內部報告，推測重建了伯爾林可能使用的方法，他認為3=字母移位，4 =數字移位，5=空格。1940年秋天，伯爾林還在完全不懂捷克語的情況下，破解了這種語言的加密電報，這甚至比解密G打印機都更使他有成就感。

不世出的天才數學家

伯爾林出生于瑞典西海岸哥德堡，他的父親是一位經驗豐富、脾氣暴躁的船長。1928年，伯爾林開始在烏普薩拉大學數學教授安德斯·維曼（Anders Wiman）指導下攻讀博士學位，并且受到另一位教授埃里克·霍姆格倫（Erik Holmgren）的深刻影響。第二年他與芬蘭數學家拉爾斯·阿爾福斯（Lars Ahlfors）差不多同時證明了關于全純函數漸進值的Denjoy猜想。然而那一年伯爾林休學與父親一起前往巴拿馬狩獵鱷魚，后來又去服兵役。因此直到1933年他才發表了研究結果，并獲得博士學位，與1936年首次頒發的菲爾茲獎失之交臂。伯爾林用法文寫成的博士論文Etudes sur un problème de majoration，成為當時最具影響力的數學文獻之一。

博士畢業后，伯爾林在烏普薩拉大學任教，1937年成為該系兩位教授之一。他在最有創造力的年華投身破解德國密碼的工作，以此報效國家。1948-1949年間，伯爾林應阿爾福斯之邀前往哈佛大學作訪問教授。1954年他辭去烏普薩拉的教職，成為普林斯頓高級研究院的終身教授，在那里繼承了愛因斯坦的辦公室，直到1973年榮休。伯爾林的主要研究領域是調和分析、復分析和位勢理論，他以獨特的方式將這三個領域融為一體，做出了多項重要貢獻。伯爾林是一位極具創造力的數學家，他由于不變子空間的Beurling定理、擬共形映射的Beurling-Ahlfors定理和函數論中的Beurling-Malliavin定理等貢獻在數學界聞名，被認為是分析數學領域的一代宗師。

伯爾林戰后在自己的游艇上（左）及晚年在普林斯頓（右）| 圖源：iva.se

伯爾林思維中的一個維度不是由邏輯，而是由感性、直覺和美引導，對他來說數學世界似乎與現實生活融為一體。伯爾林是一個完美主義者，只有在所有細節都解決之后，才有選擇性地發表文章，因此他的許多手稿未曾面世。伯爾林極具個人魅力，對于正義和公平競爭有著非常強烈的感覺，而對于朋友有著無可置疑的忠誠和慷慨，樂于無私地分享自己的想法。任何與他關系密切的人都會受其堅強個性以及對數學的激情感染。伯爾林具有強壯的體魄，熱愛戶外徒步、冒險、狩獵和航海，頗具其父遺風。在他的研究工作中似乎深藏著某種來自北歐原始森林的魔力，閱讀他的論文會使人感到被一只強有力的大手帶領著走過引人入勝的自然風光。

另一方面，伯爾林不能容忍他人對其智商和能力的質疑，對自己的研究成果具有強烈的所有權意識。他對于受到的不公正待遇十分敏感，特別是不擅長與官僚機構打交道，因此造成了人際關系上的一些沖突和悲劇。早在1939年，伯爾林和吉爾登在國防部門共事時，這兩位瑞典密碼界的重量級人物就發生過肢體沖突。破解了德國G打印機密碼之后，伯爾林的地位看上去無人替代，然而他與軍方領導層及有些同事的關系遠非和諧。1942年無線電局FRA成立后，新任主管停止了伯爾林的聘用合同，他回到烏普薩拉大學繼續從事數學研究和教學，并兼任無線電局的咨詢顧問，直到戰爭結束。而他在烏普薩拉與數學系另一位教授水火不相容，兩人從來不說話。

伯爾林一生中指導了九名博士，他的得意門生、 2006年阿貝爾獎得主里納特·卡爾松（Lennart Carleson）就是受到伯爾林人格魅力的吸引，才選擇數學家作為終身職業?？査蛇@樣描繪恩師：“伯爾林與數學有一種復雜而熱情的關系。據說牛頓將宇宙視為上帝創造的密碼，供科學家進行密碼分析。我認為這就是伯爾林對數學的看法，他只接受純粹和美麗的理論，他以藝術家的態度衡量自己及他人的作品。”1950年代初期，分析數學的潮流從經典分析轉向抽象分析，卡爾松認為這使得伯爾林被某種程度邊緣化，他的天才和成就也被大大低估了。在普林斯頓的二十多年里，伯爾林始終感到孤獨，看來美國不是一個適合他的地方。

伯爾林的胸像和家族墓地 | 圖源：維基百科（左）及筆者拍攝（右）

1986年11月20日，伯爾林在普林斯頓與世長辭，享年81歲，安葬在斯德哥爾摩北部公墓的家族墓地。2005年伯爾林百年誕辰之際，烏普薩拉大學數學系為他樹立了一座胸像，如今安放在數學系所在校園中。伯爾林是一位不世出的天才，無論從事技術性或理論性的工作，無論是密碼分析還是數學研究，正如他的終生好友與合作者阿爾福斯所言：“在伯爾林所做的每一件事情中，天賦無處不在?！笨査珊桶柛Ｋ挂恢抡J為，伯爾林身后的學術遺產將會對數學家們產生多年影響，甚至可能是幾代人。由于他在二戰期間破解德國密碼的壯舉，伯爾林在瑞典被視為民族驕傲。在國際局勢日益動蕩、網絡安全至關重要的今天，紀念伯爾林更具現實意義。

本文受科普中國·星空計劃項目扶持

出品：中國科協科普部

監制：中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

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