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在我們真正接觸數學之前，父母的教育和生活經驗已經讓我們了解相等的概念，并且這種理解將伴隨我們的一生。然而，數學上的相等有更深刻的內涵，特別是在一些特定的問題上，數學家不再只關注數是否相等，而是考慮數學結構是否等價，甚至還有更高階相等。為了能更方便地討論高階范疇的等價性，數學家還提出了新的數學。

撰文 | 葉凌遠

什么時候兩個數學對象是相等的？這個問題并沒有看起來那么平凡。事實上，數學上幾乎所有的問題都是在詢問兩個數學對象是否相等。這篇文章顯然并不是來解決某個實際的數學問題的，而是想跟大家探討現代數學中“相等”這一概念的發展。

時間回溯到19世紀末，哲學家弗雷格（Gottlob Frege，1848-1925）認為，當我們寫下一個等式A=B，A和B都是我們所想要表示的真實數學對象的記號，而相等指的是這兩個名字所指代的真實數學對象之間是一致的。換句話說，相等關系是我們所使用的數學符號之間的一種關系，兩個符號存在相等關系當且僅當它們指代的真實數學對象是一樣的。按照這樣的方式，我們很容易理解2+3=5這樣的數學陳述。

然而，隨著現代數學的發展，以這種方式理解的相等并不總是真實地反映數學家所關心的問題。最近十多年來，在一部分數學家和邏輯學家的引領下，我們有了對相等這一最基礎概念的一次觀念革新。就像牛頓和愛因斯坦對于物理學中最基礎的引力以及時空概念的革新帶來了全新的物理學一樣，這篇文章想要談談對數學中相等這一概念的革新，如何能帶來一種全新的數學。

范疇數

或許與哲學上的探討不同，要想得到一個對現代數學有用的相等概念，我們始終應從所關心的數學問題出發，而不是預先確定一個相等的觀念，然后期待所有的數學家在我們規定的這一套概念語言下來表述TA們的思想。而這一小節想要說明的是，針對不同的數學對象，我們所關心的相等問題可能是不同的。

一種對數學對象分類方式是所謂的范疇數。范疇數可以是從零到無窮的任意一個數字。范疇數的大小并不一定代表其內數學對象結構的復雜或豐富程度，而是代表我們對不同范疇數的數學對象所關心的相等問題是不太一樣的。在下述敘述中，我們將稱范疇數為n的對象為一個n-結構。

范疇數0

0-結構，即范疇數為0的數學對象，最為典型的例子是數，例如自然數、有理數、實數等等。對于兩個數，或者說0-結構，它們之間的相等關系是我們熟悉的，即兩個數是否一樣。許多非常深刻的數學定理都關心的是兩個數是否相等，而這也是我們接觸到的數學中最為常見的相等概念。

范疇數1

隨著現代數學的發展，我們不僅關心數，更關心更一般的數學結構，例如代數對象群、環、域；或是幾何對象，如流形，等等。對于這類對象，數學家并不真的關心兩個寫下的群具體是否相等（一般意義上），而是它們之間是否存在同構。

某種意義上來說，最簡單1-結構就是一個集合，它們可以看作是具有平凡結構的數學結構。對于集合而言，通常意義上人們關心的是兩個集合是否同構，而并非關系兩個集合是否具有完全相同的元素。例如，當我們說集合之間的笛卡爾積是交換且結合的，并不是說A×B真的和B×A相等，因為根據集合論的構造，這是兩個不同的集合。然而，它們之間是同構的。

范疇數 2

或許令人驚訝的是，數學的世界并不是只有范疇數為0或1的數學對象。對于長期接受經典數學訓練的人，或許不太容易想象什么數學對象會比數學結構的范疇數還要高一階。但我們可以通過遞歸的方式進行猜測。

最簡單的1-結構就是集合，而一個集合是由一些0-結構，即元素構成的數學對象。那么可以推理，最簡單的一類2-結構可被理解為某些1-結構構成的類，例如所有集合構成的類，所有群構成的類，所有流形構成的類，等等。這些對象通常被稱作一個范疇。

更嚴格地說，一個范疇是由一類數學對象以及它們之間的映射構成的。集合的范疇中對象為集合，集合之間的映射為函數；群范疇中對象為群，群之間的映射則是群同態。那么什么是2-結構，即范疇之間的等價呢？為了表明回答這樣的問題是有意義的，這里舉一個學習線性代數的例子。

通常在大學學習線性代數時，我們首先學習的是有關矩陣的運算。矩陣是一些具體數字構成的方陣，而矩陣的運算（加法、乘法等）有非常具體的運算規則。而當我們更深入地學習線性代數時，我們會發現線性代數可以完全由一種抽象的數學語言表示：線性空間可以定義為其上具有某種運算的代數結構，而線性空間之間的線性映射可以定義為滿足某些代數條件的函數。

初看起來，矩陣和線性空間之間并沒有特別直接的關系。然而，任何學過線性代數的同學或多或少都會知道，對（有限維）線性空間而言，研究矩陣和研究抽象的線性空間是等價的。但通常這一陳述并不是以嚴格數學定理的方式出現在課堂上。一般而言，這只是在學習這兩種表示之后得到的一種印象，即任何一個有關矩陣的問題都可以轉化為一個有關線性空間的問題，而任何一個有關線性空間的問題也都可以轉化為一個矩陣的問題，且在這些相互轉化之中，得到的答案應該是一致的。

但是，這只是一種非嚴格的表述。有沒有辦法用嚴格的數學語言來說明這兩種數學表述在某個嚴格意義上是等價的呢？注意，這種等價性直觀上是某兩個2-結構之間的等價性：我們在斷言研究矩陣這類對象和研究有限維線性空間這類對象是等價的。因此，在接下來的一節我們將介紹范疇數為2，甚至更高維范疇數對象之間的等價性。

高階范疇數對象之間的等價

由前所述，為了嚴格地敘述矩陣和線性空間的等價性，我們必須把它們實現為某兩個范疇，這樣它們之間的等價性也會被理解為兩個范疇之間的等價。

新數學中的等價性

現代數學的發展已經使得數學家們越來越意識到高階數學對象以及它們之間的等價性是非常重要的數學概念，且對于理解復雜的低階結構而言，有時研究高階結構是必不可少的。礙于篇幅，這篇文章并不能對高階結構在數學中的應用做很全面的介紹。但經過之前的闡述，我們至少能夠理解對于不同的數學對象，數學家關心的等價形式是不同的。

某種意義上，這對于所謂的“數學基礎”提出了新的挑戰。畢竟，相等是一個如此基礎的數學概念，但現有基于集合論的數學基礎在處理高階對象之間的相等上是非常繁瑣的。如果想非常方便地使用高階數學對象應用于之后的數學研究，顯然我們需要有一種更直接地處理任意數學對象之間相等的方式。最近十年，一種由同倫論啟發的數學基礎發展的非常迅速，被稱為Univalent Foundation[1]。這一新的數學基礎有許多不同的特征，在這里簡單介紹一下它如何處理數學對象之間的等價。

結語

當然，本文是介紹性質的，一部分細節要真的形式化為嚴格的數學內容需要更精準地表述。但是，希望這篇文章能讓大家對數學中相等這一看起來非常平凡的概念有更多地思考，畢竟筆者相信，理論科學中真正的巨大的進步都是來自于觀念的革新。這些工作或許不是技術上最令人嘆服的工作，但必定是影響人類思想最深遠的工作。

參考文獻

[1] The Univalent Foundations Program. Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. http://homotopytypetheory.org/book, Institute for Advanced Study, 2013

[2] 參考數學家 Vladimir Voevodsky 于2011年在普林斯頓高等研究院上做的報告：
https://www.math.ias.edu/~vladimir/Site3/Univalent_Foundations_files/2011_UPenn.pdf

本文受科普中國·星空計劃項目扶持

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