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編者按：

2024“阿里數(shù)賽”，來(lái)自江蘇省漣水中等專業(yè)學(xué)校的姜萍，以93分的高分名列全球第12位。一夜之間，這個(gè)江蘇17歲中專女生刷屏全網(wǎng)，關(guān)于數(shù)學(xué)的討論也熱鬧起來(lái)。

對(duì)于大部分人來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)讓人“又愛(ài)又恨”。那么，數(shù)學(xué)家眼中的數(shù)學(xué)世界又是怎樣的？研究數(shù)學(xué)到底有什么用？尤其那些以理論研究為主的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家，做的都是“無(wú)用”的研究嗎？

今天，讓我們跟隨一位數(shù)學(xué)工作者的目光，回望兩千年的數(shù)學(xué)史，追憶時(shí)間長(zhǎng)河里的數(shù)學(xué)家，一起感受數(shù)學(xué)的魅力。

想必大家最近經(jīng)常被科普“有用的數(shù)學(xué)”（我們也有寫(xiě)過(guò)），不過(guò)，也有一些數(shù)學(xué)家似乎一直在做“無(wú)用”的研究，比如以理論研究為主的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家。

Part.1

那些著名的“無(wú)用”研究

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家的世界是一個(gè)充滿理性和純真的樂(lè)園，是一片用思想和才華打造的殿堂。每個(gè)投身于基礎(chǔ)研究的數(shù)學(xué)家，都在用生命建造屬于自己的精神大廈。只是，盡管這片樂(lè)土的大門(mén)對(duì)所有人敞開(kāi)，但如此美好的精神世界卻沒(méi)有讓大多數(shù)人紛至沓來(lái)。一方面，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)準(zhǔn)入的門(mén)檻較高，容易讓造訪者產(chǎn)生深深的挫敗感；同時(shí)，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)棲身的理想王國(guó)和現(xiàn)實(shí)世界的割裂也在影響著一代又一代人的抉擇。如果我們近距離觀察基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家彼此之間交流的術(shù)語(yǔ)，以及他們?yōu)橹钌钪缘膯?wèn)題，不難發(fā)現(xiàn)，他們與公眾似乎生活在兩個(gè)平行的世界。

1. 哥德巴赫猜想

“任一大于2的偶數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)之和……”這個(gè)1742年由德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的猜想，像幽靈一樣困擾著后世無(wú)數(shù)杰出的數(shù)學(xué)家。迄今為止，在這個(gè)問(wèn)題上取得最重大成果的中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)，因?yàn)樾爝t的報(bào)告文學(xué)《哥德巴赫猜想》而聲名遠(yuǎn)播。但令人意想不到的是，陳景潤(rùn)的個(gè)人形象也被世人視為數(shù)學(xué)家的標(biāo)簽。

位于廈門(mén)大學(xué)的陳景潤(rùn)銅像（圖片來(lái)源：Wikipedia）

作為科學(xué)家勇攀高峰的典型，陳景潤(rùn)的故事感動(dòng)了一代又一代中國(guó)人，但公眾很難理解他的研究成果和研究意義。我們經(jīng)常看到“證明‘1+1=2’有什么用？”這樣的質(zhì)疑，甚至，不少人直接將“哥德巴赫猜想”誤解為“證明‘1+1=2’”這樣的問(wèn)題。人們津津樂(lè)道的是陳景潤(rùn)身上的矛盾感，有著能研究頂級(jí)數(shù)學(xué)難題的超常智慧卻缺乏基本的生活常識(shí)，在艱苦惡劣的環(huán)境中仍然不忘初心地積極奮斗。

但是，在這樣的過(guò)程中，公眾不自覺(jué)地形成了對(duì)陳景潤(rùn)、對(duì)哥德巴赫猜想、甚至對(duì)數(shù)學(xué)家群體的深深誤解。數(shù)學(xué)家們豐富的智慧內(nèi)核、不屈的奮斗精神，已經(jīng)部分濃縮為這樣一個(gè)標(biāo)簽：數(shù)學(xué)家是這樣的一群人，他們用頂級(jí)的聰明才智為無(wú)用乃至無(wú)聊的研究浪費(fèi)才華，同時(shí)，他們不食人間煙火，不問(wèn)世間俗事。

一個(gè)熱知識(shí)

哥德巴赫猜想：任何一個(gè)大于2的偶數(shù)，可以分解為兩個(gè)數(shù)之和。其中一個(gè)是質(zhì)數(shù)，另外一個(gè)也是質(zhì)數(shù)。

2. “42”

2019年，被譽(yù)為宇宙終極密碼的“42”被數(shù)學(xué)家破譯了。這是一個(gè)類似數(shù)學(xué)游戲的接力賽。數(shù)學(xué)家猜想：除了9n±4型的自然數(shù)以外，所有100以內(nèi)的自然數(shù)都能寫(xiě)成3個(gè)整數(shù)的立方和。比如：

圖：1，2，96都能寫(xiě)成3個(gè)整數(shù)的立方和

9n±4型自然數(shù)指的是像4、5、13、14這樣的數(shù)，在100以內(nèi)一共有22個(gè)。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)艱苦卓絕的努力，已經(jīng)找到了除42以外的所有非9n±4型自然數(shù)全部滿足以上的猜想。唯有42一直無(wú)法得到肯定或者否定的解答，甚至有人認(rèn)為42就是不可能被破譯的終極密碼，因此它被數(shù)學(xué)家戲稱為“宇宙的真理”。直到2019年，數(shù)學(xué)家們終于發(fā)現(xiàn)：42真的可以寫(xiě)成三個(gè)整數(shù)的三次方之和。

圖：42可以寫(xiě)成3個(gè)整數(shù)的三次方之和

驚訝、不解、困惑甚至眩暈的感覺(jué)再一次襲擊了公眾脆弱的神經(jīng)。讓眾多數(shù)學(xué)家絞盡腦汁、茶飯不思的問(wèn)題難道真的就是一個(gè)數(shù)學(xué)游戲嗎？他們的聰明才智難道僅僅是為了給人們提供茶余飯后的談資嗎？數(shù)學(xué)家，究竟是純真還是無(wú)聊？

3. 其他

俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼因?yàn)槠平馐澜缙叽髷?shù)學(xué)難題之一的“龐加萊猜想”成為媒體口中的天才。2010年，這位天才再次展示了數(shù)學(xué)家桀驁不馴的一面：向公眾宣布放棄數(shù)學(xué)界最崇高的榮譽(yù)“菲爾茲獎(jiǎng)”和100萬(wàn)美金的獎(jiǎng)賞。讓人難以理解的是，佩雷爾曼做出這一決定的時(shí)候，他仍然過(guò)著“拮據(jù)”的生活。佩雷爾曼的這一異于常人的舉動(dòng)，似乎再一次印證了數(shù)學(xué)家在公眾心目中的印象。

歷史上，確實(shí)有不少數(shù)學(xué)家做出過(guò)類似佩雷爾曼這樣的舉動(dòng)。被譽(yù)為“代數(shù)幾何教皇”的法國(guó)數(shù)學(xué)家格羅森迪克就曾在年富力強(qiáng)時(shí)歸隱山林。數(shù)學(xué)家的故事里，似乎總擺脫不了無(wú)用、古怪、偏執(zhí)和高深莫測(cè)的色彩。為什么那么多數(shù)學(xué)家會(huì)選擇一條甘愿被公眾誤解，也要“獨(dú)善其身”的道路？他們?yōu)槭裁磿?huì)癡迷的所謂的“無(wú)用的數(shù)學(xué)”？

圖片來(lái)源：veer圖庫(kù)

Part.2

數(shù)學(xué)：從認(rèn)識(shí)世界到認(rèn)識(shí)宇宙

以色列歷史學(xué)家赫拉利在《人類簡(jiǎn)史》里提出過(guò)一個(gè)觀點(diǎn)：人類是唯一具有想象力的生靈。正是想象力，讓人類不斷地迭代自己的文明進(jìn)程。在人類文明早期，生存是第一要素。天文、歷法、農(nóng)作物的播種與收獲、物件的計(jì)數(shù)、財(cái)富的累積都需要數(shù)學(xué)的幫助。也因此，數(shù)學(xué)天然地與人類認(rèn)識(shí)和改造世界的第一步融合在一起。也是從那個(gè)時(shí)代起，人類的數(shù)學(xué)大廈從零起步，一點(diǎn)一點(diǎn)地提升高度。在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)從滿足簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)、計(jì)算這些人類的日常需求，逐步發(fā)展到對(duì)宇宙基本原理的認(rèn)識(shí)：遠(yuǎn)古時(shí)代人們相信天圓地方，古希臘時(shí)代人們篤信“地心說(shuō)”，部分也因?yàn)閿?shù)學(xué)家托勒密的大圓法幾近完美地解釋了太陽(yáng)系內(nèi)行星的運(yùn)動(dòng)軌跡。

一千多年以后，文藝復(fù)興時(shí)期的天文觀測(cè)才首次發(fā)現(xiàn)“地心說(shuō)”導(dǎo)致行星運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)偏差，由此哥白尼提出了“日心說(shuō)”。在開(kāi)普勒的觀星數(shù)據(jù)以及他提出的“行星三大定律”的基礎(chǔ)上，牛頓發(fā)展出的“絕對(duì)時(shí)空觀”以微積分的誕生和極其精確的理論預(yù)言鞏固了“日心說(shuō)”的觀點(diǎn)。

兩百多年后，為了解決麥克斯韋方程所揭示的光速恒定不變的推論，愛(ài)因斯坦提出石破天驚的“相對(duì)論”，由此更是誕生了“相對(duì)論”下宇宙的怪物：奇點(diǎn)大爆炸下的黑洞。與此同時(shí)，為了驅(qū)散黑體輻射的烏云，普朗克闖入了“量子力學(xué)”的幽靈之門(mén)。時(shí)至今日，弦論所引發(fā)的多維宇宙、平行宇宙的概念，更是打開(kāi)了科技王國(guó)的“潘多拉魔盒”。

圖片來(lái)源：veer圖庫(kù)

人類始終在嘗試著去揭開(kāi)宇宙的奧秘，并一步步走到了今天。每一次宇宙觀的進(jìn)步和顛覆，都讓人類更加接近宇宙的終極真理。每一次觀念的躍遷，數(shù)學(xué)都在其中起到了至關(guān)重要的作用。但如果人類穿越回任何一次科技巨變史的前夜，人們依然會(huì)認(rèn)為彼時(shí)的數(shù)學(xué)不過(guò)是貴族們無(wú)用的游戲。直到有一天，這些被昔日的思想巨匠創(chuàng)造出來(lái)的數(shù)學(xué)工具和思想，為人類開(kāi)啟一扇又一扇認(rèn)識(shí)世界的全新之門(mén)。

數(shù)學(xué)家的興趣和使命之一，就是探尋世界最基本的秩序和規(guī)律，詮釋背后的原理，同時(shí)為現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜現(xiàn)象，找到最簡(jiǎn)單和本質(zhì)的應(yīng)對(duì)策略。令人驚異的是，自然科學(xué)的突飛猛進(jìn)，往往受益于數(shù)學(xué)理論的先知預(yù)言。

Part.3

“無(wú)用”終將“有用”

進(jìn)入二十一世紀(jì)，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)理論成果開(kāi)枝散葉，很多早期被認(rèn)為“無(wú)用之用”的分支，今日早已成為現(xiàn)代科技最強(qiáng)有力的工具，成為現(xiàn)代科技發(fā)展的澎湃動(dòng)力。曾經(jīng)被人們束之高閣而偏安一隅的數(shù)學(xué)研究正化作人們手中的利器，在探索物質(zhì)世界的途中披荊斬棘，更為人們提供越來(lái)越多的思想動(dòng)力和創(chuàng)造源泉。微積分的誕生開(kāi)啟了牛頓機(jī)械宇宙觀的宏偉時(shí)代。

人們驚奇地發(fā)現(xiàn)：原來(lái)浩瀚無(wú)垠的宇宙并不神秘，外部空間的物質(zhì)和現(xiàn)象與我們居住的行星在最深的層面一脈相承。即使隱匿在宇宙深空的天體，其運(yùn)動(dòng)的規(guī)律都遵循著同樣的法則。自此之后，牛頓力學(xué)成為打開(kāi)科技寶藏的鑰匙。基于其原理所發(fā)明的蒸汽機(jī)和發(fā)動(dòng)機(jī)更是直接點(diǎn)燃了第一次工業(yè)革命的烈火。

圖片來(lái)源：veer圖庫(kù)

我們今日所享受的信息時(shí)代的文明，諸如電腦、手機(jī)和網(wǎng)絡(luò)，都深深地受益于量子力學(xué)的發(fā)展。這門(mén)徹底改變?nèi)藗兩畹目茖W(xué)，卻源于眾多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的饋贈(zèng)：從線性代數(shù)、矩陣分析、統(tǒng)計(jì)學(xué)起，到數(shù)學(xué)家們?yōu)榱私鉀Q五次方程求解問(wèn)題而發(fā)明的群論不等。基于廣義相對(duì)論，人們發(fā)明了突破地球引力約束的衛(wèi)星，這使得天地通訊成為可能，也為深空探測(cè)、陸海導(dǎo)航打下了基礎(chǔ)。

人們?nèi)找骖l繁地出行，基于地理位置的GPS導(dǎo)航等等都在為我們的生活提供前所未有的便利。而讓愛(ài)因斯坦流芳千古的廣義相對(duì)論，其數(shù)學(xué)原理正是非歐幾何（特別是黎曼幾何）和張量分析的應(yīng)用。自80年代末期，在物理理論中一枝獨(dú)秀的弦論，因?yàn)槠浯竽懞颓靶l(wèi)的想法，深受彼時(shí)科學(xué)家的青睞。這個(gè)有望解決相對(duì)論和量子力學(xué)的大一統(tǒng)理論，已經(jīng)逐漸在主流科學(xué)界激起千層巨浪。在弦論蓬勃發(fā)展的道路上，我們不難看到微分幾何堅(jiān)定的背影。

2016年，三位物理學(xué)家分享了最高的榮譽(yù)——諾貝爾獎(jiǎng)。他們因發(fā)現(xiàn)了物質(zhì)拓?fù)湎嗪驮谕負(fù)湎嘧兝碚撋系耐怀鲐暙I(xiàn)而獲獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)上艱深抽象的拓?fù)淅碚摰谝淮我舱业搅擞梦渲亍Ｎ锢韺W(xué)家利用數(shù)學(xué)家發(fā)明的拓?fù)涔ぞ咴诶碚撋项A(yù)測(cè)了一種特殊材質(zhì)的存在。在它身上，人們能觀測(cè)到匪夷所思的反常量子霍爾效應(yīng)。基于該效應(yīng)發(fā)現(xiàn)的材料，能夠在常溫下、無(wú)需超強(qiáng)磁場(chǎng)的協(xié)助就能自發(fā)在某個(gè)方向上呈現(xiàn)電阻為零的特性。

這給計(jì)算機(jī)芯片的發(fā)展提供了無(wú)限廣袤的空間，從此量子計(jì)算機(jī)和微型超級(jí)計(jì)算機(jī)的夢(mèng)想距離我們又近了一大步。在理論數(shù)學(xué)家的眼中，數(shù)論是最基礎(chǔ)、最重要的分支。這門(mén)延續(xù)了兩千多年的數(shù)學(xué)主流分支已經(jīng)積累了大量寶貴的精神財(cái)富。無(wú)論是哥德巴赫猜想，還是費(fèi)馬大定理，破譯它們的過(guò)程都曾誕生過(guò)極具創(chuàng)造力的思想。它們的結(jié)論是那么地簡(jiǎn)潔明了，但是求索的道路上卻是如此地曲折。人們也無(wú)法知道，這些智慧的結(jié)晶什么時(shí)候能為真實(shí)世界可能的困境破局。

幸運(yùn)的是，基于數(shù)論的RSA算法等已經(jīng)在金融體系、互聯(lián)網(wǎng)安全、網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物、移動(dòng)支付乃至國(guó)防事業(yè)里構(gòu)筑堅(jiān)固的安全防線，而基于費(fèi)馬大定理發(fā)明的橢圓曲線更是通過(guò)區(qū)塊鏈技術(shù)等等，不斷造福當(dāng)今的世界。而一旦量子計(jì)算機(jī)和量子密碼中的關(guān)鍵技術(shù)成功問(wèn)世，人類必將跨入一個(gè)嶄新的時(shí)代。

IBM Q System One，世界上第一臺(tái)商用量子計(jì)算機(jī)（圖片來(lái)源：Wikipedia）

在這片基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家棲身的樂(lè)土里，隱藏著無(wú)數(shù)可能對(duì)后世影響深遠(yuǎn)的發(fā)明和福祉。歷史已經(jīng)證明，很多重大的發(fā)明創(chuàng)造都起源于數(shù)學(xué)家不經(jīng)意間在歷史上留下的理論財(cái)富。數(shù)學(xué)家在理論層面的突破創(chuàng)新，正是在為后人改造現(xiàn)實(shí)世界提供原創(chuàng)的思想工具。

數(shù)學(xué)家，并不是人們想象中的那樣離群索居，他們普遍擁有沉穩(wěn)的內(nèi)在品格，比如純粹、謙遜、堅(jiān)毅、孜孜不倦，還帶著對(duì)科學(xué)的敬畏。他們甘愿在喧囂的財(cái)富盛宴里棲居一角，繼續(xù)為尋找世間普適的真理貢獻(xiàn)畢生的聰明才智。

出品：科普中國(guó)

作者：黃逸文

監(jiān)制：中國(guó)科普博覽

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