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本文簡要介紹代數(shù)學(xué)的早期發(fā)展，包括“代數(shù)”一詞的由來、《九章算術(shù)》中的代數(shù)學(xué)內(nèi)容，9世紀阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子密其人及其《代數(shù)學(xué)》的主要內(nèi)容和影響。通過豐富的歷史資料，我們能對代數(shù)學(xué)的早期歷史有更全面的認識。

撰文 | 郭園園（中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所）

代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中最重要的基礎(chǔ)分支之一，代數(shù)學(xué)按照發(fā)展的先后順序可分為初等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)。初等代數(shù)學(xué)是指19世紀上半葉以前的方程理論，主要研究某一方程（組）是否可解，怎樣求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各種性質(zhì)。19世紀末，代數(shù)學(xué)從方程理論轉(zhuǎn)向代數(shù)運算的研究，揭開了抽象代數(shù)的序幕。

代數(shù)是如何起源的呢？代數(shù)之前已有算術(shù)。代數(shù)與算術(shù)主要區(qū)別在于代數(shù)要引入未知數(shù)，根據(jù)問題的條件列方程，然后解方程求未知數(shù)值。盡管古埃及、巴比倫、古希臘和古代中國等早期文明中都可以找到一些零星的代數(shù)學(xué)內(nèi)容，但代數(shù)與算術(shù)在很長一段時間內(nèi)是伴生在一起的。代數(shù)學(xué)發(fā)展成為一門獨立的數(shù)學(xué)分支應(yīng)歸功于中世紀的阿拉伯人。最早的代數(shù)學(xué)著作是9世紀初阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子密（Muhammad ibn Mūsā al-Khowārizmī，約780－約850）的《還原與對消之書》（簡稱《代數(shù)學(xué)》，約820），它標(biāo)志著初等代數(shù)學(xué)的誕生。

01

“代數(shù)”一詞的由來

事實上，今天漢語中的“代數(shù)”一詞并非源自中國古典數(shù)學(xué)，而是源自花拉子密《還原與對消之書》（kitāb al-jabr wa-al-muqābala）的書名，其中的 “al-jabr”為“還原”。花拉子密將其定義為這樣一種運算——將方程一側(cè)的一個減去的量轉(zhuǎn)移到方程的另一側(cè)變?yōu)榧由系牧浚?x+1=2-3x，變?yōu)?x+1=2，這就是一個“還原”過程。書名中“al-muqābala”的意思是將方程兩側(cè)的同類正項消去，例如8x+1=2化為8x=1，這就是一個“對消”過程。后世的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家逐漸用“還原”一詞來代替“還原與對消”，慢慢演化為今天方程化簡中的移項與合并同類項。后來阿拉伯代數(shù)學(xué)傳入歐洲，“還原（al-jabr）”一詞演變?yōu)橛⑽闹小按鷶?shù)（algebra）”一詞。

16世紀末，歐洲耶穌會傳教士來華，揭開了明末清初西學(xué)東漸的序幕。清康熙五十一年（1712）前后，耶穌會士傅圣澤（Jean-Fran?oise Foucquet，1665-1741）首次將符號代數(shù)傳入中國，為康熙皇帝撰寫了《阿爾熱巴拉新法》，其中“阿爾熱巴拉”就是algebra（代數(shù)）的音譯。此外，該詞還有“阿爾朱巴爾”“阿爾熱巴達”“阿爾熱巴喇”等譯法。關(guān)于上述中文譯名，晚清《中西聞見錄》記載：

亞喇伯國算學(xué)書，有名曰阿喇熱巴爾愛阿喇莫加巴喇者，考其立名之意，即補足法，亦相消法，[阿喇者，其也，熱巴爾能也，分數(shù)變?yōu)檎麛?shù)之算法也，莫加巴喇相對也，相比也，相等也，即互相調(diào)換意也。]歷年既多，取其補足相消意，僅呼為阿爾熱巴喇。

康熙之后，阿爾熱巴拉被曲解為“東來法”，廣為流傳，為“西學(xué)東源”說張本。與此同時，康熙接受泰州進士陳厚耀（1648-1722）“請定步算諸書以惠天下”的提議，于康熙五十一年（1712）下詔開蒙養(yǎng)齋（蒙養(yǎng)齋被西方稱為中國皇家科學(xué)院），并賜梅文鼎（1633-1721）之孫梅瑴成（1681-1763）舉人頭銜，充蒙養(yǎng)齋匯編官，會同允祉、允祿等開始編撰《數(shù)理精蘊》，至康熙六十一年（1722）告成。該書匯集了明末傳入中國的西方數(shù)學(xué)知識，并吸收了當(dāng)時中算家們的一些研究成果。《數(shù)理精蘊》下編卷31-36有“借根方比例”，介紹多項式的加減乘除法則，引入加號、減號、等號、移項等概念，以用代數(shù)方法求高次方程的解。其卷31云，“借根方者，假借根數(shù)、方數(shù)以求實數(shù)之法也”。“根數(shù)”就是未知數(shù)，“方數(shù)”就是根數(shù)的正指數(shù)冪。梅瑴成認為“借根方”的西名“阿爾熱巴達”為“東來法”，它是宋元時期的“立天元一”法傳播到西域之后又再次傳回的產(chǎn)物，這樣明清之際傳入的西方代數(shù)學(xué)“借根方”刺激了乾嘉學(xué)者對宋元數(shù)學(xué)典籍的發(fā)掘，進而為偉烈亞力（Alexander Wylie，1815-1887年）等西方學(xué)者對中西數(shù)學(xué)文化作比較、交流和互鑒提供了可能。

自18世紀20年代起，傳教士被禁止在內(nèi)地傳教，直至鴉片戰(zhàn)爭后被迫開埠之時，西方數(shù)學(xué)的傳入基本中斷，并一直延續(xù)到1850年前后。1847年，英國人偉烈亞力來到上海學(xué)習(xí)中文，1853年他用中文編寫了《數(shù)學(xué)啟蒙》介紹西方數(shù)學(xué)。**偉烈亞力在《數(shù)學(xué)啟蒙》序中說：“有代數(shù)、微分諸書在……”，這是第一次使用中文“代數(shù)”一詞作為數(shù)學(xué)分支的名稱。**1859年，李善蘭（1811-1882）與偉烈亞力合作翻譯的《代微積拾級》和《代數(shù)學(xué)》刊行。其中《代微積拾級》的底本為美國數(shù)學(xué)家羅密士（E .Loomis，1881-1889）1851年所著的《解析幾何與微積分》。《代數(shù)學(xué)》的底本為英國人棣么甘（Augustus De Mogan，1806-1871；該譯名取自古籍，現(xiàn)一般譯為德摩根）1835年所著的“Elements of Algebra”，**譯為中文時定名為《代數(shù)學(xué)》，這是我國第一本以“代數(shù)學(xué)”命名的書。**書中指出“代數(shù)”二字取意“以字代數(shù)”，即以甲乙丙丁諸元代已知數(shù)，以天地人物諸元代未知數(shù)。譯本中的代數(shù)術(shù)語源于中國的傳統(tǒng)代數(shù)學(xué)天元術(shù)，但是否認“借根方”是“東來法”。《代數(shù)學(xué)》刊行后的十幾年，符號代數(shù)在中國的傳播并不順利。直到1872年，華蘅芳（1833-1902）與傅蘭雅（John Fryer，1839-1928）合作翻譯的《代數(shù)術(shù)》刊行，西方符號代數(shù)才流行和傳播開來。

02

花拉子密之前的代數(shù)學(xué)

與數(shù)字之間的算術(shù)運算相比，初等代數(shù)學(xué)的精妙之處在于處理含有未知數(shù)問題的過程通常是機械化的：首先將所求未知數(shù)設(shè)為“某物”或“某量”（今天一般設(shè)為x），并建立方程；隨后在將方程化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式的過程中，這個“某物”或“某量”可以像已知數(shù)一樣參與運算，例如“移項”“合并”或“對消”等，它可以取代人腦原本需要進行的復(fù)雜條件分析過程。這就好像是用算盤進行算術(shù)運算，人們利用算盤的形制、口訣和機械的撥珠可以替代大量的腦力勞動，從而可以長時間準(zhǔn)確地計算。

有的讀者朋友可能會感到好奇，早在2300年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，約公元前330-前275）就能在其所著的《幾何原本》中解決復(fù)雜的圖形問題并奠定了今天幾何學(xué)的基礎(chǔ)，為什么上述看似“簡單”的代數(shù)思想?yún)s只能追溯到公元9世紀初呢？事實上，更早的古希臘、古印度和古代中國的數(shù)學(xué)文明中或多或少也都可以找到上述初等代數(shù)的內(nèi)容，下面以中國古典數(shù)學(xué)中《九章算術(shù)》方程章為例。

漢代成書的《九章算術(shù)》第八章所給方程術(shù)相當(dāng)于現(xiàn)今的線性方程組解法，是《九章算術(shù)》最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。該章第一問提出方程術(shù)，是全章的綱，本章18道問題都要用方程術(shù)解決。第二問提出損益術(shù)，是列方程的方法。第三問提出正負術(shù)，是解決消元過程中或方程本身出現(xiàn)負數(shù)時的處理方法，是方程術(shù)的必要補充。

若以x, y, z分別表示《九章算術(shù)》第一問中上、中、下禾各一束的實的斗數(shù)，得到線性方程組：

隨后用直除法消元求解。所謂直除法就是整行與整行對減。此處方程的建立及消元變換采用位值制，每個數(shù)字不必標(biāo)出它是什么物品的系數(shù)，而是用所在的位置表示，與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中分離系數(shù)法一致。《九章算術(shù)》方程的表示，相當(dāng)于列出其增廣矩陣，消元過程相當(dāng)于矩陣變換。例如第1問中的消元求解過程相當(dāng)于今增廣矩陣變換：

損益術(shù)是《九章算術(shù)》建立方程時要用到的重要方法，方程章第二問提出：損之曰益，益之曰損。“損之曰益”是說關(guān)系式一端損某量，相當(dāng)于另一端益同一量；同樣，“益之曰損”是說關(guān)系式一端益某量，相當(dāng)于另一端損同一量。損益術(shù)相當(dāng)于現(xiàn)今方程某項從等號一端向另一端移項，移項后改變符號。例如第二問原題有：今有上禾七秉，損實一斗，益之下禾二秉，而實十一斗。若設(shè)上、下禾一秉之實分別為x, y，相當(dāng)于給出關(guān)系：(7x-1)+2y=10。通過損益術(shù)，該方程可化為：7x+2y=11。《九章算術(shù)》方程章還引入了負數(shù)，提出正負數(shù)的加減法則，與今天的方法無異，負數(shù)的引入是數(shù)系的又一重要擴展，是中國古代的重要成就。

《九章算術(shù)》方程章中的“損益術(shù)”

在驚嘆于中國古代數(shù)學(xué)家們?nèi)〉贸删偷耐瑫r，我們也應(yīng)認識到古代數(shù)學(xué)知識跨文明傳播、演化通常并不是從一個“里程碑”到另一個“里程碑”的“輝格史”過程，而是一個非常復(fù)雜且充滿多元化的過程。到目前為止，沒有證據(jù)表明上述中國古代代數(shù)學(xué)思想影響了花拉子密。與之類似，花拉子密《代數(shù)學(xué)》中同樣沒有歐幾里得《幾何原本》、丟番圖（Diophantus，約246-330）《算術(shù)》等古希臘數(shù)學(xué)著作中的任何代數(shù)學(xué)痕跡。雖然，花拉子密《代數(shù)學(xué)》在個別問題中體現(xiàn)了印度數(shù)學(xué)的特點，但在語言表述、章節(jié)安排、思想呈現(xiàn)等方面更大程度體現(xiàn)出其原創(chuàng)性。

古代數(shù)學(xué)知識在跨文明傳播、演化過程中這種非線性特點的例子還有很多。例如，15世紀初波斯數(shù)學(xué)家阿爾·卡西（al-Kāsh，約1380-1429）利用三次方程數(shù)值解求出sin1°任意精度值從而提高正弦表精度，但這種算法并未傳入歐洲。16世紀中葉，奧地利數(shù)學(xué)家雷蒂庫斯（Rheticus，1514-1574）開始致力于求解高精度正弦表，直至半個世紀后德國數(shù)學(xué)家畢的斯克斯（Pitiscus，1561-1613）才在1595年出版的《三角法》一書中達到了近200年前卡西的成就。1631年，德國傳教士鄧玉函（Jean Terrenz，1576-1630）以《三角法》為底本編寫《大測》傳入中國時，并未將上述算法寫入《大測》；直至1722年《數(shù)理精蘊》中，中國數(shù)學(xué)家才經(jīng)過獨立探究并掌握上述算法，但此時距卡西解決此問題已過去300年。

03

花拉子密的生平與《代數(shù)學(xué)》的主要內(nèi)容

花拉子密的生平信息很少，這種情況在古代著名數(shù)學(xué)家中并不是個例，比如古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得、中國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀）、賈憲（11世紀）等人的生平信息也很少。花拉子密全名——穆罕默德·本·穆薩·花拉子密（Muhammad ibn Mūsā al-Khowārizmī），根據(jù)阿拉伯人名字的特點，他的名字應(yīng)叫穆罕默德。其中“本”是兒子的意思，所以“本·穆薩”表明他的父親叫穆薩。最后一個單詞表明他來自中亞花剌子模地區(qū)，但是他的父輩們或是更早的祖先何時來到巴格達，我們一無所知，只知道他生活在巴格達且沒有去過其他地方。花拉子密共有12部著作，這些作品題材廣泛，包括數(shù)學(xué)、天文學(xué)、年代學(xué)、地形學(xué)和歷史。他的數(shù)學(xué)著作除了《代數(shù)學(xué)》以外，還有一本名為《印度算術(shù)書》的著作，該書在阿拉伯世界首次系統(tǒng)地介紹了印度十進位制記數(shù)法以及相關(guān)計算方法。

之所以能夠在9世紀初的阿拉伯地區(qū)產(chǎn)生像花拉子密這樣偉大的科學(xué)家絕對不是偶然的，這是政治、經(jīng)濟、文化等多方面因素共同作用的結(jié)果。據(jù)推斷花拉子密出生在公元8世紀的最后一個十年，并在當(dāng)時學(xué)風(fēng)盛行的巴格達接受教育。阿拔斯王朝第七任哈里發(fā)馬蒙（al-Ma’mūn，813-833）在巴格達修建了“智慧宮”并開啟了“百年翻譯運動”。花拉子密在這一時期被邀請到“智慧宮”工作，完成了《代數(shù)學(xué)》并在該書序言中表達了對馬蒙的尊敬與感激。直至第九任哈拉法瓦希克（al-Wāthiq，842-847在位）去世的公元847年，花拉子密仍在世。

1983年發(fā)行的花拉子密紀念郵票

花拉子密《代數(shù)學(xué)》正文分四部分：一元二次方程理論、商貿(mào)問題（三率法）、幾何度量問題、遺產(chǎn)問題。該書開始部分便介紹了由根（即一次項）、平方（即二次項）及數(shù)（即常數(shù)項）組合成的六種類型的標(biāo)準(zhǔn)方程：

1、平方等于根（ax^2=bx）；

2、平方等于數(shù)（ax^2=c）；

3、根等于數(shù)（bx=c）；

4、平方與根之和等于數(shù)（ax^2+bx=c）；

5、平方與數(shù)之和等于根（ax^2+c=bx）；

6、根與數(shù)之和等于平方（ax^2=bx+c，以上a, b, c＞0）。

花拉子密在構(gòu)造方程時，僅考慮有正根的方程，化簡得到的標(biāo)準(zhǔn)形式方程必然為一些正項之和等于另外一些正項之和。在保證方程存在正根的前提下，上面六種方程與今一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式ax^2+bx+c=0(a, b, c∈R)是等價的。前三種類型方程解法較簡單，對于后三種類型方程，花拉子密首先將二次項系數(shù)化為1，然后用文字語言詳盡闡明其求根公式，例如第五種方程相當(dāng)于：

花拉子密《代數(shù)學(xué)》（1342年版）

前面所列是6個標(biāo)準(zhǔn)形式方程，但是根據(jù)題意列出的方程通常形態(tài)各異，所以花拉子密接下來給出了方程化簡的方法，即簡單的整式運算法則。全書第二、三部分——商貿(mào)問題和幾何度量問題的篇幅非常簡短，最后用了全書一半的篇幅來闡述58道與伊斯蘭遺產(chǎn)法有關(guān)遺產(chǎn)繼承問題，它們本質(zhì)上是復(fù)雜的一元一次方程。下面以第一題為例，這也是最簡單的一道：

一個人去世后留下兩個兒子，并將其總遺產(chǎn)的三分之一遺贈給一個陌生人。他留下十迪拉姆的遺產(chǎn)，且有一個兒子欠了父親的債務(wù)，他將不會享有這十迪拉姆（中的任何部分）。

一個兒子欠了父親的債務(wù)，設(shè)這個兒子的債務(wù)為x，將其加父親留下的財產(chǎn)后進行分配，則總遺產(chǎn)為10+x。這個兒子所得的遺產(chǎn)與其原有的債務(wù)相抵消，則有：

陌生人得到5迪拉姆，其中一個兒子得到5迪拉姆，另一個有債務(wù)的兒子所得遺產(chǎn)與原有債務(wù)抵消。對伊斯蘭遺產(chǎn)法中規(guī)定的復(fù)雜遺產(chǎn)分配問題進行代數(shù)求解的行為，體現(xiàn)了當(dāng)時數(shù)學(xué)與宗教良好的伴生關(guān)系，事實上這種伴生關(guān)系貫穿了整個中世紀伊斯蘭數(shù)學(xué)發(fā)展的黃金期。與之類似的，信徒尋找面向麥加城精確方向進行禱告而產(chǎn)生的“奇伯拉”問題，促進了阿拉伯三角學(xué)的快速發(fā)展。宗教中的重要問題為數(shù)學(xué)提供了發(fā)展的動力，同時賦予了數(shù)學(xué)更高的威信與地位，這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在發(fā)展過程中多元化的文化特點。

04

花拉子密《代數(shù)學(xué)》的深遠影響

對于第一次閱讀花拉子密《代數(shù)學(xué)》的讀者而言，它似乎并沒有給人眼前一亮的感覺。這并不是一本鴻篇巨制，而是略顯單薄的小冊子；書中也沒有復(fù)雜的難題，今天的初中生閱讀起來也毫無障礙；書中沒有代數(shù)符號，全部用文字語言表述，給人一種“原始”的感覺。但是由于其中明確的方程思想闡釋、實用價值和官方背景，該書很快便獲得了巨大的關(guān)注。與花拉子密同時期以及稍晚的許多數(shù)學(xué)家均參與到《代數(shù)學(xué)》的深入討論中，例如同時期的伊本·吐克（ibn Turk，9世紀人）補充了花拉子密證明一元二次方程求根公式正確性的幾何證明；稍晚些的塔比·伊本·庫拉（Thabit ibn Qurra，826-901）首次將歐幾里得《幾何原本》與花拉子密《代數(shù)學(xué)》進行深入比較研究；阿布·卡米爾（Abū Kāmil，約850-約930）全面繼承并且發(fā)展了花拉子密的代數(shù)學(xué)思想。一方面伊本·吐克、塔比·伊本·庫拉、卡米爾等人的工作進一步明確了花拉子密的代數(shù)學(xué)思想，并為后世阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家在方程的化簡和求解領(lǐng)域提供了更寬廣的研究視角和更豐富的研究內(nèi)容；另一方面，正是由于參與了花拉子密《代數(shù)學(xué)》的研究而使得上述數(shù)學(xué)家的名字都刻在了數(shù)學(xué)史的“功績簿”上。

花拉子密所著《代數(shù)學(xué)》書中的“還原與對消”方法作為代數(shù)學(xué)的基本特征被長期保留下來，同時該書基本確定了后世阿拉伯代數(shù)學(xué)中方程化簡與方程求解這兩條主要的發(fā)展脈絡(luò)。首先在方程化簡領(lǐng)域取得突破性進展的是卡拉吉（al-Karaji，953-約1029），他的工作使得代數(shù)學(xué)進一步“獨立”， 相當(dāng)于系統(tǒng)地將加、減、乘、除、比例和開方這幾種基本算術(shù)方法應(yīng)用于代數(shù)表達式。隨后的薩馬瓦爾（al-Samaw’al，約1130-約1180）進一步發(fā)展了凱拉吉的理論。最終，這種源于方程化簡過程中的基本運算步驟及簡單的算術(shù)方法在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家們的努力下發(fā)展成一套相對完備的理論。

花拉子密、塔比·伊本·庫拉、卡米爾等數(shù)學(xué)家們在一元二次方程的代數(shù)解、幾何解、數(shù)值解等方面已經(jīng)得到相對完備的成果。而首先在一般高次方程求解領(lǐng)域取得突破性進展的是奧馬爾·海亞姆（Omar Khayyam，1048-1131）。海亞姆最大的貢獻在于他對一元三次方程給出了基于希臘數(shù)學(xué)知識的幾何解法，本質(zhì)上是利用圓錐曲線交點對方程的解進行定性描述。首先在一般三次方程數(shù)值求解領(lǐng)域取得突破性進展的是薩拉夫·丁·圖西（Sharaf al-Dīn al-Tūsī，約1135-1213），這為后世數(shù)學(xué)家進行高精度數(shù)值求解奠定了基礎(chǔ)。

海亞姆求解x^3+c=bx圖示（拋物線與雙曲線的交點表示方程的根）

花拉子密的《代數(shù)學(xué)》于12世紀被翻譯為拉丁文并在歐洲開始傳播。花拉子密的拉丁文譯名后來逐漸演變?yōu)閍lgorism和algorithm這兩個英文單詞，前一個單詞是“阿拉伯記數(shù)法”；后一個單詞成為數(shù)學(xué)中的專有名詞“算法”，即解決某種問題的特定的計算步驟。

13世紀初，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（Fibonacci，約1175-約1250年）在代表作《計算之書》講述了卡米爾書中的代數(shù)學(xué)內(nèi)容，其中第406頁邊注中提到Maumeht（即穆罕默德），以明確表示二次方程的解法出自花拉子密。從13世紀開始，歐洲科學(xué)奮斗的原點就在于消化吸收并超越斐波那契等學(xué)者的著作。隨后，許多歐洲數(shù)學(xué)家也被阿拉伯代數(shù)學(xué)吸引，并一直致力于尋找一般三次方程的代數(shù)解公式。1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達諾（Cardano Girolamo，1501-1576）在德國紐倫堡出版了一部關(guān)于代數(shù)學(xué)的拉丁文著作《大術(shù)》，一般三次方程和四次方程的求根公式終于公之于眾，這也標(biāo)志著歐洲人真正接過阿拉伯人傳過來的數(shù)學(xué)接力棒。歐洲數(shù)學(xué)家們經(jīng)過不懈的努力，于19世紀初最終證明了一般五次方程沒有代數(shù)解，開啟了近世代數(shù)的研究。19世紀初，中世紀的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)引起了歐洲數(shù)學(xué)史家們的關(guān)注，花拉子密《代數(shù)學(xué)》先后被翻譯為英語、法語、俄語等。

2020年筆者出版的花拉子密《代數(shù)學(xué)》中譯本

參考文獻

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[5]R.Rahed, Sharaf al-Din al-Tushi, CEuvres Mathematiques[M], Algebra et Geometrie au XII siècle. Collection Science et Philosophie Arabes. Paris: Societe d’edition , 1986.(Tome I, II.)

[6] Jamshid al-Kāshī. Miftah al-Hisab (Key to Arithmetic)[M]. A S al-Demerdash.M H al-Cheikh (eds). Cairo: Dār al-kātib al-?arabī,1967.

[7] Bartholom?i Pitisci Grunbergensis Silesij Trigonometri? Siue De dimensione Triangulor[um] Libri Qvinqve ; Item Problematvm Variorv[M], nempe Geod?ticorum, Altimetricorum, Geographicorum, Gnomonicorum et Astronomicorum Libri Decem. Augsburg, 1612.

[8] 陳志輝.宋元數(shù)學(xué)研究的復(fù)興、交流與互鑒[J].中國社會科學(xué)報.2024.1.24.A05.

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