發展精度可控的數值計算共性高效算法是充分發揮高性能計算機巨大能力、滿足大規模計算實際問題模擬精度和置信度要求的重要研究前沿。而在電子結構計算中，計算結果誤差的可靠估計方法研究是其核心科學問題之一。
近日，在我國首個以數學學科為主導的國家自然科學基金重大研究計劃“高性能科學計算的基礎算法與可計算建?！敝С窒拢覈茖W家證明了他們所設計的基于后驗誤差估計的“自適應有限元離散算法”具有最優收斂率與最優復雜度，完成了國際首個重特征值問題自適應有限元收斂率與復雜度分析工作。
基于密度泛函理論的第一原理電子結構計算是探索與模擬物質微觀系統的物理規律的基本手段，在微觀世界的物理過程的研究與理解和先進材料的結構性質的預測上發揮了重要作用。在第一原理電子結構計算中，自適應有限元算法設計及其收斂性和復雜性分析是當今計算數學國際前沿課題。
自上世紀七十年代以來，微分方程源問題相關研究已取得非常深入系統的成果。但相比之下，特征值問題的自適應有限元算法工作不多。“重特征值問題的自適應有限元算法設計與分析有本質困難，研究成果只有很少幾項。”中科院數學與系統科學研究院研究員周愛輝告訴《中國科學報》。
針對此難題，周愛輝課題組經過長時間研究，終于在重特征值問題的自適應有限元算法設計與分析方面取得突破。具體而言，他們針對一類二階橢圓算子重特征值問題，引入特征空間的距離來度量解的誤差，從而構造了有限元離散的后驗誤差估計子。進一步，他們引進不可計算誤差估計子，并且證明了該不可計算誤差估計子與所構造的后驗誤差估計子是等價的。
利用這一等價關系，他們得到了后驗誤差估計子的上下界估計，給出了空間誤差的漸進壓縮性，進而證明了所設計的自適應有限元離散算法具有最優收斂率與最優復雜度。隨后，他們團隊對Kohn-Sham 方程的有限元離散進行了后驗誤差分析，進而建立了相應的自適應有限元離散算法與理論。
周愛輝團隊碳60體系電子結構自適應有限元計算結果，從左至右分別為體系構型、密度圖及網格截面圖。（研究團隊供圖）
該項成果在國內外科學家多項后繼工作中得到引用，被稱“引進‘創新性方法論’、提供‘關鍵步驟’、做出了‘決定性貢獻’”。該工作為設計與理解電子結構計算高效離散算法提供了基礎，為我國開展二維材料和钚表面氧化問題等國家重大需求奠定了堅實基礎。
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